Если Вы являетесь автором каких-либо рефератов, курсовых, дипломных работ и т.д. Если у Вас есть опыт, или есть - стремление и желание опубликовать свои работы у нас, то Вам необходимо зарегистрироваться на сайте и отправить сообщение на страницу формы связи с нашим редактором. Мы ответим на Ваше письмо (кроме выходных) в течении 24 часов!

Контент сайта

Весь контент сайта предоставлен исключительно для ознакомительных целей проекта Superreferat Информация публикуемая на сайте регулируется администрацией, которая руководствуется нормами Закона об Авторском Праве. Все файлы проходят тщательную проверку на вирусы, с помощью антивируса Dr.Web! Все опубликованные на сайте материалы, обязательно должны быть одобрены их авторами! В противном случае - материалы удаляются.

На учёбе

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Главная » Файлы » Рефераты на русском » Экономико-математическое моделирование

Контрольная работа: Эконометрика 3

27.7 Kb \| Файл проверен «Доктор Веб» ©	04.12.2015, 04:25
Институт экономики и предпринимательства (ИНЭП) Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» Вариант 1 Выполнил: студент группы № Проверил: преподаватель ИНЭП, кандидат технических наук Ю.М. Давыдов г. Лосино-Петровский 2008-2009 уч. год 1. Цель работы Цель контрольной работы – демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК). Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL. 2. Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших квадратов (МНК). 2.1 Контрольная задача № 1 2.1.1. Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%). Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1: Таблица 1 xi 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 yi 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 45 48 2.1.2 Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР): Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии; xi 1 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1; ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14 (2). Исходные данные представляют в виде матриц. ( 1 32 ) (20 ) ( 1 30) (24 ) ( 1 36) (28 ) ( 1 40 ) (30 ) (1 41 ) (31 ) ( 1 47 ) (33) X = (1 56) Y = (34 ) (1 54) (37 ) (1 60 ) (38 ) (1 55 ) (40 ) ( 1 61 ) (41 ) ( 1 67 ) (43) (1 69 ) (45 ) ( 1 76 ) (48 ) Значение параметров А^ = (а0 , а1 ) T и s2 – нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов. Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х-1 можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х Т . Получим XT X * A^ = X T * Y , откуда A^ = (XT * X ) –1 ( XT Y) (3), где (XT * X ) –1 - обратная матрица. 2.1.2. Решение. а) Найдем транспонированную матрицу ХТ : ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) XT = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 ) в) Находим произведение матриц XT X : ( 14 724 ) XT X = ( 724 40134) г) Находим произведение матриц XT * Y: ( 492 ) XT * Y = ( 26907 ) д) Вычисляем обратную матрицу ( XT * X) –1 : ( 1,064562 -0,0192 ) ( XT * X) –1 = (-0,0192 0,000371) е) Умножаем обратную матрицу ( XT * X) –1 на произведение матриц (XT Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a 0 , a 1 )T : ( 7,0361 ) A^ = ( XT X) –1 * (XT * Y) = ( 0,543501). Уравнение парной регрессии имеет следующий вид: уi ^ = 7,0361 + 0,543501* xi 1 (4). уi ^ (60) = 7,0361 + 0,54350160 = 39, 646. 2.1.3 Оценка качества найденных параметров Для оценки качества параметров Â применим коэффициент детерминации R2 . Величина R2 показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные. Q = ∑(yi - y¯)2 (5) – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; QR = ∑(y^i - y¯)2 (6) – сумма квадратов, обусловленная регрессией; Qе = ∑(yi – y^i )2 (7) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = QR + Qе (8). Q = 847,714; QR = 795,453; Qе = 52,261. Q = QR + Qе = 795,453 + 52,261 = 847,714. R2 = QR / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383. R2 = 1 – Qe / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383. В нашем примере коэффициент детерминации R2 , очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4). 2.2 Контрольная задача № 2 2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы: Х1 – количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га); Х2 - количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) . Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах: Таблица 2 I (номер района) yi хi 1 хi 2 1 9,7 0,32 0,14 2 8,4 0,59 0,66 3 9,3 0,3 0,31 4 9,6 0,43 0,59 5 9,6 0,39 0,16 2.2.2. Матричная форма записи ЛММР: Y^ = X A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ; хi 1 , хi 2 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2; Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5 (2). Исходные данные представляют в виде матриц. ( 1 0,32 0,14 ) (9,7) ( 1 0,59 0,66 ) ( 8,4 X = ( 1 0,3 0,31 ) Y = (9,3 ) ( 1 0,43 0,59 ) (9,6) (1 0,39 0,16 ) (9,6) Значение параметров А^ = (а0 , а1 , а 2 ) T и s2 – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов. Для нахождения параметров A^ применим формулу (3) задачи № 1 A^ = (XT * X ) –1 * XT * (3), где (XT * X ) –1 - обратная матрица. 2.2.3. Решение. а) Найдем транспонированную матрицу ХТ : ( 1 1 1 1 1 ) XT = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 ) ( 0,14 0,66 0,53 0,59 0,13 ). в) Находим произведение матриц XT X : ( 5 2,11 2,05 ) XT X = ( 2,11 0,932 0,94 ) ( 2,05 0,94 1,101). г) Находим произведение матриц XT * Y: ( 46,6 ) XT * Y = ( 19,456 ) ( 18,731 ). д) Вычисляем обратную матрицу ( XT * X) –1 : ( 5,482 - 15,244 2,808 ) ( XT * X) –1 = ( -15,244 50,118 -14,805 ) ( 2,808 -14,805 7 ,977 ). е) Умножаем обратную матрицу ( XT * X) –1 на произведение матриц XT * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a 0 , a 1 , a 2 )T : ( 11, 556 ) A^ = (XT * X) –1 * (XT * Y) = ( -5, 08 ) ( 0, 0219 ) Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид: yi ^ = 11,456 - 5,08 * xi 1 - 0,0219 * xi 2 (4) . 2.2.4. Оценка качества найденных параметров Для оценки качества найденных параметров а^0 , a^1 .a^2 необходимо найти оценку дисперсии по формуле 1 s^2 = ------------ (Y – X * A^)T * (Y – X * A^), k – n - 1 после чего можно найти среднеквадратические ошибки SL по формуле SL = s^√hii , где hii элементы главной диагонали матрицы (XT * X) –1 . А. Произведение матриц X * A^: ( 9,833 ) ( 8,472 ) Y^ =X * A^ = ( 9,536 ) ( 9,283 ) (9,476 ). Б. Разность матриц ( Y - X * A^ ) : ( -0,132 ) ( - 0,072 ) ( Y - X * A^ ) =(-0,036 ) ( 0,116 ) ( 0,0835 ). В. ( Y - X * A^ )T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 ) Г. Произведение ( Y - X * A^ )T * ( Y - X * A^ ) = 0,04458 . С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2 1 1 s^2 = ------------ (Y – X * A^)T (Y – X A^) =------* 0,04458 = 0,0223. k – n - 1 2 s^ = Ö 0,0223 = 0,1493 . Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны: S 0 = 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496 ; S 1 = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057 ; S 2 = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217 . Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных. 3. Контрольная задача № 3 Оценки параметров трендовой модели. 3.1. По данным о розничном товарообороте региона нужно произвести анализ основной тенденции развития товарооборота. Таблица 3 Год Объем розничного товарооборота, млрд. руб. Темп роста по годам, % Абсолютный прирост по годам, млрд. руб. 1 2 3 4 1 18,4 - - 2 18,9 103,5 0,5 3 19,8 105,3 0,9 4 20,3 102,6 0,5 5 21,1 104,4 0,8 В среднем 19,7 103,9 0,67 3.2. Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а0 , а1 , а2 , а3 , так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а2 и а3 . Матрица Х размерами 5×4 и вектор-столбец Y размерами 5×1, будут иметь следующий вид: ( 1 1 1 1 ) (1,84E+10 ) ( 1 2 4 8 ) ( 1,89E+10 ) X = ( 1 3 9 27) Y = ( 1, 98E+10) ( 1 4 16 64) (2, 03E+10) ( 1 5 25 125) ( 2,11E+10 ) Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^: (а0 ) ( 1,79E+10 ) (1, 838E+10 ) (а1 ) ( 3,976E+08 ) ( 1,899E+10 ) Â = (а2 ) = ( 8,929E+07 ) Y^ = ( 1, 967E+10 ) (а3 ) (- 8,333E+06) ( 2, 039E+10) ( 2, 108E+10). Отрицательное значение параметра а3 = - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста) замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы. 3.3 . Анализ полученной трендовой модели на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R2 . Значение коэффициента детерминации R2 = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой модели yt (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929t2 – 0,008333t3 .
1 2 3 4 5 Категория: Экономико-математическое моделирование, Контрольные работы
Просмотров: 536 \| Загрузок: 131 \| Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]