Вариант № 14
Железнодорожный 200 9
Задание 1.2
Задача 1.
Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:
Годы 1994 1995 1996 1997 1998
Кол-во ВУЗов 548 553 569 573 578
Найти: х - ?
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 5
2. Запишем формулу:
х = 1 / n Σ n i = 1 * x i
3. x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2
Ответ: 564,2
Задача 2.
Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:
Поголовье КРС (млн.т) 57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1
Пр-во молока (тыс.т) 1,49 1,38 1,29 1,1 0,99 0,9 0,88
Найти: Cov - ?
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 7
2. Определим выборочное среднее для скота:
х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271
3. Определим выборочное среднее для молока:
y = ( 1 * (1,49 + 1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88 )) / 7 = 8 , 03 / 7 = 1,147
4. Запишем формулу для определения ковариации:
Cov (x;y) = 1/n Σ n i = 1 (x i - x)(y i - y)
5. Вычислим ковариацию:
Cov ( x ; y ) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634
Ответ: 1,634
Задача 3.
Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).
69 60 69 57 55 51 50
Найти: Var - ?
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 7
2. Определим выборочное среднее:
х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714
3. Запишем формулу для определения вариации:
Var (x) = 1/n Σ n i = 1 (x i - x) 2
4. Определим вариацию:
Var = (1* (69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2 )/7 = 365,429/7 = 52,204
Ответ: 52,204
Задача 4.
Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:
х (производство мяса) = 6,8
y (поголовье скота) = 47,3
Cov = 11,2
Var = 56,9
Оценить параметры
Решение:
1. b = Cov (x;y)/Var (x)
b = 11,2/56,9
b = 0,196
2. a = y – bx
a = 47,3 – 0,196 * 6,8
a = 45,968
3. y = 45,968 + 0,196x
Задание 5.
Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:
y = 0,20 x – 2,24
57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1
8, 37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85
Найти: g 1 = ?
Решение:
1. Выбор № наблюдений: i = 1
2. х i = 57
3. y i = 8, 37
4. Вычислим :
y*= 0,20x – 2,24
y*= 0,20x 1 – 2,24
y*= 0,20*57 – 2,24
y*= 9,16
5. Определим остаток в 1-ом наблюдение:
g i = y i - x i
g 1 = 8, 37 – 9,16
g 1 = - 0,79
Ответ: - 0,79
Задача 6.
Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.
57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1
8, 37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85
Найти: RSS = ?
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 7
2. Вычислим: y i = a + bx i , получим
y 1 * = 0,20*57 – 2,24 , y 1 * = 9,16
y 2 * = 0,20*54,7 – 2,24 , y 2 * = 8,7
3. Определим остатки:
g 1 = 8, 37 – 9,16 , g 1 = - 0,79
g 2 = 8,26 – 8,7, g 2 = - 0,44
4. Определим RSS для 1 и 2 ряда:
RSS = Σ n i =1 g i 2
RSS = ( - 0,79 ) 2 + (-0,44) 2
RSS = 775, 2592
Ответ: 0,8177
Задача 7.
Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).
57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1
8, 37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85
Найти: ESS = ?
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 7
2. Вычислим: y i = a + bx i , получим
y 1 = 0,20*57 – 2,24 , y 1 = 9,16
y 2 = 0,20*54,7 – 2,24 , y 2 = 8,7
y 3 = 0,20* 52,2 – 2,24 , y 3 = 8,2
y 4 = 0,20* 48,9 – 2,24 , y 4 = 7,54
y 5 = 0,20* 43,3 – 2,24 , y 5 = 6,42
y 6 = 0,20* 39,7 – 2,24 , y 6 = 5 ,7
y 7 = 0,20* 35,1 – 2,24 , y 7 = 4,78
3. Определим выборочное среднее y = 1 / n Σ n i = 1 * y i получим:
y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7
y = 7,214
4. Вычислим ESS :
ESS = Σ i = 1 n ( y i * - y i ) 2
ESS = (9,16 – 7,214) 2 +(8,7 – 7,214) 2 +(8,2 – 7,214) 2 +(7,54 – 7,214) 2 +(6,42 – 7,214) 2 +(5,7 – 7,214) 2 +(4,78 – 7,214) 2
ESS = 15,921
Ответ: 15,921
Задача 8.
В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS . Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.
RSS = 0,8177
ESS = 15,921
Решение:
1. Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:
TSS = Σ i = 1 n ( y i - y) 2
TSS = 12,016
у i 8,37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85 Σ = 46,91 Σ /n = 6,701
( y i - y) 2 2,784 2,429 0,654 0,010 0,831 1,881 3,428 Σ = 12,016
2. Проверим:
TSS = ESS + RSS
TSS = 15,921 + 0,8177
TSS = 16,7387
16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.
Задача 9.
Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.
Найти: R 2 = ?
Решение:
1. Определим коэффициент детерминации:
R 2 = ESS/TSS
R 2 = 15,37/16,21
R 2 = 0,948
Ответ: 0,948
Задача 10
Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32.
Cov (x,y) = 11,17
Var (x) = 59,86
Var (y) = 2,32
Найти: Z xy - ?
Решение:
1. Запишем формулу для определения выборочной корреляции:
Z xy = Cov 2 (x,y)/ √ Var(x) * Var(y)
2. Вычислим выборочную корреляцию:
Z xy = (11,17) 2 / √ 59,86*2,32
Z xy = 124,769/11,785
Z xy = 10,588
Ответ: 10,588
Задание 2.2
Задача 1.
Производство х1 30,8 34,3 38,3 37,7 33,8 39,9 38,7 37,0 31,4
Импорт х2 1,1 1,2 0,4 0,2 0,1 0,1 0,1 0,2 0,33
Потребление у 15,7 16,7 17,5 18,8 18,0 18,3 18,5 19,1 18,0
Найти: Var = ? и парную Cov = ?
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 9
2. Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / n Σ n i = 1 * x i
х 1 = (1*(30 ,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4 )) / 9
х 1 = 35,767
х 2 = (1*( 1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33 )) / 9
х 2 = 0,414
у = (1*( 15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0 )) / 9
у = 17,844
3. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / n Σ n i = 1 * ( x i – x i ) 2
(x 1 – x 1 ) -4,967 -1,467 2,533 1,933 -1,967 4,133 2,933 1,233 -4,367
Σ = 87,120
Σ /n = 9,680
(x 1 – x 1 ) 2 24,668 2,151 6,418 3,738 3,868 17,084 8,604 1,521 19,068
(x 2 – x 2 ) 0,686 0,786 -0,014 -0,214 -0,314 -0,314 -0,314 -0,214 -0,084
Σ = 1,483
Σ /n = 0,165
(x 2 – x 2 ) 2 0,470 0,617 0,000 196 0,046 0,099 0,099 0,099 0,046 0,007
(y – y) -2,144 -1,144 -0,344 0,956 0,156 0,456 0,656 1,256 0,156
Σ = 9,202
Σ /n = 1,022
(y– y) 2 4,599 1,310 0,119 0,913 0,024 0,208 0,430 1,576 0,024
4. Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n Σ n i = 1 * (x i – x)*(y i – y)
(x 1 -x 1 )(y-y) 10,651 1,679 -0,873 1,847 1,923 1,549 -0,679 Σ = 17,673 Σ /n = 1,964
(x 2 –x 2 )(y-y) -1,470 -0,899 0,005 -0,205 -0,206 -0,269 -0,013 Σ = -3,250 Σ /n = -0,361
(x 1 -x 1 )(x 2 –x 2 ) -3,405 -1,152 -0,037 -0,415 -0,922 -0,264 0,369 Σ = -6,508 Σ /n = -0,723
Ответ : Var 1 = 9,680 Cov 1 = 1,964
Var 2 = 0,165 Cov 2 = -0,361
Var 3 = 1,022 Cov 3 = -0,723
Задача 2.
Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.
Найти: b 1,2 = ?
Решение:
1. Определим Var рядов объясняющих переменных:
Var (х 1 ) = 9,680
Var (х 2 ) = 0,165
2. Определим Cov :
Cov ( x 1 ;у) = 1,964
Cov (х 2 ;у) = -0,361
Cov (х 1 ;х 2 ) = -0,723
3. Вычислим b 1 и b 2 по формулам:
b 1 = Cov ( x 1 ;у)* Var (х 2 ) - Cov (х 2 ;у)* Cov (х 1 ;х 2 )/ Var (х 1 )* Var (х 2 ) – ( Cov (х 1 ;х 2 )) 2
b 2 = Cov (х 2 ;у)* Var (х 1 ) - Cov ( x 1 ;у)* Cov (х 1 ;х 2 )/ Var (х 1 )* Var (х 2 ) - ( Cov (х 1 ;х 2 )) 2
b 1 = ( 1,964 * 0,165 ) – ( -0,361 *-0,723)/ ( 9,680 * 0,165 ) - (-0,723) 2
b 1 = 0,059
b 2 = ( -0,361 * 9,680 ) – ( 1,964 *-0,723)/ ( 9,680 * 0,165 ) - (-0,723) 2
b 2 = - 1,931
Ответ: 0,059 ; - 1,931
Задача 3.
Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)
Найти: а = ?
Решение:
1. определим средние значения:
х 1 = 35,767 х 2 = 0,414 у = 17,844
2. Определим коэффициенты b 1 и b 2 :
b 1 = 0,059 b 2 = -1,931
3. Вычислим значение коэффициента а: а = у – b 1 x 1 – b 2 x 2
a = 17,844 - 0,059* 35,767 – (-1,931* 0,414 )
a = 16,533
Ответ: 16,533
Задача 4.
Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.
Решение:
1. Определим коэффициенты b 1 и b 2 :
b 1 = 0,059 b 2 = -1,931
2. Определим коэффициент а:
а = 16,533
3. Определим вектор регрессионного значения по формуле:
[Х*]= а + b 1 [ x 1 ]+ b 2 [x 2 ]
1 2 3 4 5 6 7 8 9
[Х*] 16,226 16,2 40 18,020 18,371 18,334 18,694 18,623 18,33 17,748
Задача 5.
Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.
Найти: RSS, TSS, ESS - ?
Решение:
1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:
Потребление у 15,7 16,7 17,5 18,8 18 19,1 18 Σ = 160,6 Σ /n = 17,84
у* 16,226 16,240 18,020 18,371 18,334 18,330 17,748 Σ= 160,6 Σ /n = 17,84
у = y*
2. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:
TSS = Σ i = 1 n ( y i - y) 2
TSS = 9,202
( y i - y) 2 4,60 1,31 0,12 0,91 0,21 0,43 1,58 0,02 Σ= 9,202
3. Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
ESS = Σ i = 1 n ( y i – y*) 2
ESS = 7,316
( y i – y*) 2 2,614 2,571 0,031 0,279 0,241 0,724 0,609 0,237 0,009 Σ= 7,316
4. Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
RSS = Σ i = 1 n ( y i – y*) 2
RSS = 1,882
( y i – y*) 2 0,277 0,212 0,271 0,184 0,112 0,155 0,015 0,593 0,063 Σ= 1,882
Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882
Задача 6.
Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5
Найти : R-?
Решение:
1. Вычислим TSS и ESS:
TSS = 9,202
ESS = 7,316
2. Найдем R 2 по формуле:
R 2 = ESS / TSS
R 2 = 7,316/9,202
R 2 = 0,795
Ответ: 0,795
Задача 7.
Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).
Решение:
1. Найдем Var:
Var (х 1 ) = 9,680
Var (х 2 ) = 0,165
2. Найдем Cov:
Cov (х 1 ;х 2 ) = -0,723
3. Рассчитаем коэффициент корреляции:
r ( x 1 ;х 2 ) = Cov (х 1 ;х 2 )/√ Var (х 1 )- Var (х 2 )
r ( x 1 ;х 2 ) = -0,723/3,085
r ( x 1 ;х 2 ) = - 0,234
Ответ: - 0,234
Задача 8.
Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.
Найти: S u 2 (u) - ?
Решение:
1. Найдем RSS:
RSS = 1,882
2. Найдем число степеней выборки
k = n-m - 1
k = 9-2-1
k = 6
3. Найдем несмещенную оценку случайного члена:
S u 2 (u) = RSS/ n-m-1
S u 2 (u) = 1,882/9-2-1
S u 2 ( u ) = 0,3136
Ответ: 0,3136
Задача 9.
Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.
Найти: С.О.( b 1 ), C . O .( b 2 ) - ?
Решение:
1. Найдем дисперсию случайного члена:
S u 2 ( u ) = 0,3136
2. Найдем Var:
Var (х 1 ) = 9,680
Var (х 2 ) = 0,165
3. Найдем коэффиц. корреляции:
r ( x 1 ;х 2 ) = - 0,234
4. Вычислим стандартные ошибки С.О.( b 1 ), C . O .( b 2 ):
С.О.( b 1 ) = (√( S u 2 ( u )/ n * Var (х 1 )) * (1/1- r 2 ( x 1 ;х 2 ))
С . О .(b 1 ) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))
C.O.(b 2 ) = (√(S u 2 (u)/n * Var( х 2 )) * (1/1- r 2 (x 1 ; х 2 ))
C.O.(b 2 ) = (√(0,3136/9* 0,165 ))* (1/1-(- 0,234))
С . О .(b 1 ) = 0,0486
C . O .( b 2 ) = 0,3724
Ответ: 0,0486; 0,3724.
Задача 10.
Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.
Найти: DW - ?
Решение:
1. Определим остатки в наблюдениях:
e k = y k – y * k ; k = (1:n)
y(k) 15,7 16,7 17,5 18,8 18 18,3 18,5 19,1
y(k)* 16,226 16,240 18,020 18,371 18,334 18,694 18,623 18,330
e(k) -0,526 0,461 -0,520 0,429 -0,334 -0,394 -0,123 0,770
ek-e(k-1) -0,987 0,981 -0,949 0,763 0,060 -0,271 -0,893 0,519
ek-e(k-1)^2 0,973 0,962 0,901 0,582 0,004 0,073 0,798 0,269
e(k)^2 0,277 0,212 0,271 0,184 0,112 0,155 0,015 0,593
(e k - e k – 1 ) 2 = 4,562
e k 2 = 1,882
2. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:
DW = Σ (e k -e k – 1 ) 2 / Σ e k 2
DW = 2,424
DW > 2
Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.
Задание 3.2
Задача 1.
Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):
6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4
Найти: а
Решение:
1. Запишем формулу: a =1/ N * Σ N t =1 * x ( t )
2. Вычислим:
а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10
а = 7,02 (млрд. руб.)
Ответ: 7,02 (млрд. руб.)
Задача 2.
Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.
Найти: σ = ?
Решение:
1. а = 7,02
2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ 2 = 1/ N *Σ N t =1 x ( t )- a
3. Вычислим:
х(t) 5,9 6,3 6,6 6,8 7 7,1 7,4 7,9 7,8
х(t)-a -1,120 -0,720 -0,420 -0,220 -0,020 0,080 0,380 0,880 0,780
(х(t)-a) 2 1,254 0,518 0,176 0,048 0,0004 0,006 0,144 0,774 0,608
σ = 3,676
Ответ: 3,676
Задача 3.
Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)
х(t)-a -1,120 -0,720 -0,420 -0,220 -0,020 0,080 0,380 0,880
(х(t)-a)^2 1,254 0,518 0,176 0,048 0,000 0,006 0,144 0,774
(х(t)-a)* (х(t+1)-a) 0,8064 0,3024 0,0924 0,0044 -0,0016 0,0304 0,3344 0,6864
(х(t)-a)* (х(t+2)-a) 0,4704 0,1584 0,0084 -0,0176 -0,0076 0,0704 0,2964 0,3344
∑ τ (0) = 3,676
∑ τ (1) = 2,552
∑ τ (2) = 1,313
ρ(τ) = 1/( N - τ)∑ t =1 N - τ ( x ( t )-в)* ( x ( t +1)-в)
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.
Задача 4.
Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1
Найти: r= ? для τ = 1,2
Решение:
1. Найдем τ = 0,1,2
ρ(0) = 0,367
ρ(1) = 0,283
ρ(2) = 0,164
2. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:
r ( τ ) = ρ (τ)/ τ(0)
r (1) = 0,283/0,367
r (1) = 0,771
r (2) = 0,164/0,367
r (2) = 0,446
Ответ: 0,771; 0,446
Задача 5.
Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.
Найти: r частная (2) = ?
Решение:
1. Найдем выборочную автокорреляцию
r (1) = 0,771
r (2) = 0,446
2. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:
r частная (2) = r (2) – r 2 (1)/ 1 - r 2 (1)
r частная (2) = 0,446 – (0,771) 2 / 1 - (0,771) 2
r частная (2) = - 0,365
Ответ: - 0,365
Задача 6.
С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:
1 6200 -
2 6300 -
3 6400 -
4 6600 +
5 6400 -
6 6500 не рассматриваем
7 6600 +
8 6700 +
9 6500 не рассматриваем
10 6700 +
11 6600 +
12 6600 +
13 6300 -
14 6400 -
15 6000 -
Решение:
1. Определим число наблюдений: n=15
2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:
6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700
3. Вычислим медиану:
n = 15;
х мед = n+1/2 = 15+1/2
x мед = 8
x мед = 6500
4. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:
если х( i ) < х мед , то +; если х( i ) > х мед , то -.
5. Определим общее число серий:
v(15) = 6
6. Протяженность самой длинной серии:
τ(20) = 3
7. Проверим неравенства:
v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)
v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)
v(n) = 1,166
6 > 1 – выполняется
τ (n) < (1,43*ln(n+1))
τ( n ) < (1,43* ln (15+1))
τ( n ) = 3,96
3 < 3,96 – выполняется
Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.
Ответ: гипотеза принимается.
|
